Peculiar Distribution Functions and Interesting Stochastic Processes

Forestil dig en 10-sidet terning med siderne nummererede 0, 1, …, 9. Kastes terningen uendeligt mange gange, fås en uendelig følge af tilfældige decimaler (en såkaldt stokastisk proces). Disse danner et tilfældigt decimaltal mellem 0 og 1, som er beskrevet af en såkaldt fordelingsfunktion: den angiver for ethvert tal x sandsynligheden for, at det tilfældige decimaltal er mindre end eller lig x. Hvis terningen er ærlig, dvs. numrene 0, 1, …, 9 er lige sandsynlige, er fordelingsfunktionen bare en lineær funktion. Hvis terningen er uærlig, har fordelingsfunktionen hældning 0 overalt på nær en `meget lille mængde´, men den stiger alligevel fra 0 til 1 uden spring! Sådan en funktion siges at være singulær kontinuert. Forskellen på de to fordelingsfunktioner er overraskende, idet de stokastiske processer for en ærlig og uærlig terning er ret ens og nemme at forstå. Singulært kontinuerte fordelingsfunktioner udfordrer således naiv intuition om kontinuitet, differentiation og sandsynlighedsfordelinger. Desuden, i stedet for tilfældige decimaler genereret ved gentagne terningekast, kan mere komplicerede stokastiske processer og andre talrepræsentationer end decimaltal anvendes. Da er sammenhængen mellem den stokastiske proces og fordelingsfunktionen mangelfuldt beskrevet i litteraturen. I den forbindelse vil projektet udforske dybe grundvidenskabelige spørgsmål, hvis svar vil være af vigtighed inden for matematisk statistik, sandsynlighedsteori, matematisk analyse og matematisk fysik.